桁架的求解方法有哪些（桁架优化设计的基本原则）

桁架是一种重要的工程结构，其求解方法包括解析法、有限元法和优化设计。解析法通过建立数学模型来求解，而有限元法则利用计算机模拟来实现。在优化设计中，主要目标是最小化或最大化某种性能指标，如重量、成本或刚度等。桁架的优化设计还需要考虑材料属性、几何形状以及载荷条件等因素。

桁架求解方法

一、结点法

基本原理
- 取桁架中的某一结点为隔离体，由于结点上的外力与杆件内力组成一平面汇交力系，根据平面汇交力系的平衡条件 $\sum F_{x}=0$ $\sum F_{x} = 0$ ， $\sum F_{y}=0$ $\sum F_{y} = 0$ 来求解杆件内力。一般情况下，该结点上的未知力数目不宜超过两个，否则需要解联立方程。这种方法适用于计算简单桁架，计算顺序可按几何组成的相反次序进行，即从最后一个二元体开始计算。桁架杆件内力的符号规定为：轴力以使截面受拉为正，受压为负，在取隔离体时，轴力均先假设为正（即轴力方向用离开结点表示），计算结果为正，则为拉力；反之，则为压力。另外，桁架中常有一些特殊形式的结点，利用这些特殊结点的平衡条件，可使计算大为简化。例如：
  - L型结点：不在一直线上的两杆结点，当结点不受外力时，两杆均为零杆；若其中一杆与外力 $F$ 共线，则此杆内力与外力 $F$ 相等，另一杆为零杆。
  - T型结点：两杆在同一直线上的三杆结点，当结点不受外力时，第三杆为零杆；若外力 $F$ 与第三杆共线，则第三杆内力等于外力 $F$ 。
  - X型结点：四杆结点两两共线，当结点不受外力时，则共线的两杆内力相等且符号相同。
  - K型结点：这也是四杆结点，其中两杆共线，另两杆在该直线同侧且与直线夹角相等，当结点不受外力时，则非共线的两杆内力大小相等但符号相反。
- 以上结论，均可取适当的坐标由投影方程得出。应用这些结论可判定出结构中的零杆，从而简化计算过程。
计算步骤
- 首先求桁架的支座反力。
- 然后按照几何组成的相反顺序选取结点，每次选取的结点未知力不超过两个。
- 对选取的结点建立平面汇交力系的平衡方程 $\sum F_{x}=0$ ， $\sum F_{y}=0$ ，求解杆件内力。

二、截面法

基本原理
- 截取桁架中的一部分（包含两个及以上的结点）为隔离体，根据隔离体的平衡条件（ $\sum F_{x}=0$ ， $\sum F_{y}=0$ ， $\sum M = 0$ ）求解各杆的轴力。截面法适用于求桁架中某些指定杆件的内力，尤其是当这些杆件内力不能用结点法方便求出时。
计算步骤
- 先求出桁架的支座反力。
- 用一个合适的截面（可以是平面或曲面）截取桁架，使要求内力的杆件被截断，而隔离体上的未知力个数不超过三个（一般利用 $\sum F_{x}=0$ ， $\sum F_{y}=0$ ， $\sum M = 0$ 三个平衡方程求解）。
- 对截取的隔离体建立平衡方程求解杆件内力。

三、结点法与截面法的联合应用

基本思路
- 在一些复杂的桁架结构中，单独使用结点法或截面法可能无法有效求解杆件内力，此时可以将结点法和截面法联合使用。例如，先用截面法求出部分杆件内力，再用结点法求解其他杆件内力；或者先利用结点法的特殊结点判断求出一些杆件内力或确定零杆，然后再用截面法求解剩余杆件内力等。
应用示例
- 对于某些联合桁架（由几个简单桁架按几何不变体系的简单组成规则联合组成的桁架），可以先通过截面法将其分解为几个简单桁架，再对每个简单桁架分别使用结点法进行内力计算。

四、利用对称性求解

对称桁架的特点
- 如果桁架的几何形状、杆件的截面尺寸和材料性质以及荷载都关于某一轴对称，则该桁架为对称桁架。在对称桁架中，对称杆件的内力在对称荷载作用下具有一定的对称关系（内力大小相等，符号相同或相反），在反对称荷载作用下也有相应的关系。
计算方法
- 根据荷载的对称性或反对称性，将荷载分解为对称荷载和反对称荷载两部分。分别计算在对称荷载和反对称荷载作用下的杆件内力，然后叠加得到原荷载作用下的杆件内力。在对称荷载作用下，反对称内力（如在对称轴上的反对称杆件的内力）为零；在反对称荷载作用下，对称内力为零。这样可以减少计算工作量。