桁架结构是工程中常见的一种结构类型，其稳定性和承载能力对于工程设计至关重要。本文将通过一个具体的计算例题来讲解桁架的计算过程。我们需要确定桁架的结构形式，包括杆件的数量、尺寸以及连接方式。根据载荷情况和设计要求，选择合适的材料和截面形状。使用力学原理和相关的公式来计算桁架的内力分布和应力状态。通过调整杆件长度和节点位置，优化桁架的设计，确保其满足强度和刚度的要求。通过这个计算例题，我们可以深入理解桁架结构的设计方法和计算过程，为实际工程应用提供理论支持。

一、平面桁架结构计算例题讲解

（一）基于节点法计算平面桁架杆件轴力

1. 题目描述
   • 假设有一个由连接于A、B、C、D、E、F、G、H共8个节点的13根杆件构成的平面桁架结构，在节点B、E和F上施加指定载荷，求桁架每根杆件上的轴力。同时假定节点A在水平和垂直方向上刚性固定，节点H仅在垂直方向刚性固定。
2. 计算步骤
   • 步骤一：确定独立平衡方程数量
     • 对于每个节点，可以列出两个独立的平衡方程（水平方向力平衡和垂直方向力平衡）。这里有8个节点，理论上可列出16个方程，而待定的未知量（杆件轴力）有13个，方程数多于未知量，可求解。
   • 步骤二：对各节点进行受力分析并列出平衡方程
     • 以节点A为例，由于它在水平和垂直方向刚性固定，受到的约束反力未知。假设杆件AB、AC与节点A相连，设杆件AB的轴力为$F_{AB}$，AC的轴力为$F_{AC}$。在水平方向上，$\sum F_x = 0$，可能有$F_{AB}\cos\theta_{AB}+F_{AC}\cos\theta_{AC}=0$（$\theta_{AB}$、$\theta_{AC}$为杆件AB、AC与水平方向的夹角）；在垂直方向上，$\sum F_y = 0$，可能有$F_{AB}\sin\theta_{AB}+F_{AC}\sin\theta_{AC}+F_{A,y}=0$（$F_{A,y}$为节点A处垂直方向的约束反力）。
     • 按照同样的方法对其他节点（如B、C等）进行受力分析并列出平衡方程。
   • 步骤三：联立方程求解
     • 将所有节点列出的平衡方程联立起来，组成方程组。通过解方程组，求出各杆件的轴力。

（二）基于截面法计算桁架内力

1. 题目示例
   • 假设有一个简单的静定桁架，承受集中荷载作用，求某几根指定杆件的内力。
2. 计算步骤
   • 步骤一：选择合适的截面
     • 选择一个能够将桁架分成两部分的截面，使得要求内力的杆件被截断，并且截断的杆件数量最好不超过3根（对于平面桁架，根据平衡方程的数量，截断3根杆件时可以求解）。
   • 步骤二：对截断后的部分进行受力分析
     • 假设我们截断了杆件1、杆件2和杆件3，对其中一部分（比如左边部分）进行受力分析。考虑作用在这部分上的外力（集中荷载、支座反力等）以及截断杆件的内力。
     • 在水平方向上，根据力的平衡$\sum F_x = 0$建立方程；在垂直方向上，根据$\sum F_y = 0$建立方程；同时，根据力矩平衡$\sum M = 0$（选择一个合适的点取矩，一般选择未知力交点为矩心，这样可以减少方程中的未知量）建立方程。
   • 步骤三：求解内力
     • 联立上述平衡方程，求解出截断杆件1、杆件2和杆件3的内力。

（三）超静定桁架计算示例（以midas分析为例）

1. 题目描述
   • 比较内部1次超静定桁架和内、外部1次超静定桁架两种结构在制作误差产生的荷载和集中力作用时结构的效应。桁架材料为钢材（Grade3），截面为箱形截面$300×300×12mm$，有节点集中荷载$50tonf$、制作误差$5mm$（产生预张力荷载$141.75tonf$）。
2. 计算步骤（使用midas软件）
   • 步骤一：设定基本环境
     • 打开新文件以'桁架分析.mgb'为名存档。设定单位体系，例如长度单位为$m$，力的单位为$tonf$。并设定结构类型为$X - Z$平面。
   • 步骤二：定义材料以及截面
     • 选择Grade3钢材作为桁架结构的材料，以用户定义的方式输入箱形截面$300×300×12mm$的数据。
   • 步骤三：建立节点和单元
     • 首先建立形成下弦构件的节点，例如在坐标$(0,0,0)$建立节点。然后利用扩展单元功能建立桁架下弦，单元类型为桁架单元。之后复制下弦建立桁架上弦，并输入倾斜杆和竖向杆件等，按照相应的参数和操作进行构建。
   • 步骤四：输入边界条件
     • 对于3维空间里节点有6个自由度，但结构类型为$X - Z$